HTML

<div id="content">
  <h3>
    タイトル
  </h3>
  <ul>
    <li>項目1</li>
    <li>項目2</li>
    <li>項目3</li>
    <li>項目4</li>
    <li>項目5</li>
  </ul>
  <h3>
    他の内容
  </h3>
  <ul>
    <li>他の項目1</li>
    <li>他の項目2</li>
  </ul>
</div>

上記の「タイトル」直後のul要素を選択したい場合：

$(document).ready(function(){
  // <h3>タイトル</h3>を選択
  var $title = $('#content > h3:contains("タイトル")');

  if ($title.length > 0) {
    // タイトル直後のul要素を選択
    var $target = $title.next('ul');

    // 選択した内容（ul自身も含む）を変数contentに格納
    // 参考: https://code-macchiato.com/tips/jquery-html-with-self
    var content = $target.wrap('<p/>').parent().html();
    $target.unwrap();

    $('#result').html(content);
  }
});

デモ：https://jsfiddle.net/n0wmu0p9/3/