HTML

<div id="content">
  <div class="main">
    ダミー内容です  
    <ul>
      <li>アイテム1</li>
      <li>アイテム2</li>
    </ul>
  </div>
  他の内容
</div>

<div class="main"></div>の内容を抽出したい場合は下記の方法がある：

$('#content').children('.main').html();

ただし、<div class="main"></div>自身は含まれない。

.main要素を自身含めたHTMLを取得する場合は：

$(document).ready(function(){
  var $content = $('#content').children('.main');
  writeResult(1, $content.html());

  // ダミーの<p/>を既存の内容ラップする
  var $content_wrap_by_p = $content.wrap('<p/>');

  // ラッパー<p/>を選択
  var $p = $content_wrap_by_p.parent();

  // htmlコードを取得
  var content_with_self = $p.html();
  $content.unwrap();

  writeResult(2, content_with_self);
});

// 結果を書き込む関数
function writeResult(num, content) {
  $('#result' + num).children('article').html(content);
}

デモ：https://jsfiddle.net/1tyf6s4z/1/

参考：https://stackoverflow.com/questions/6459398/jquery-get-html-of-container-including-the-container-itself